[MATEMÁTICA]Questão 102

Última atualização: 12/10/2025

Um jardineiro dispõe de $( k )$ metros lineares de cerca baixa para fazer um jardim ornamental. O jardim, delimitado por essa cerca, deve ter a forma de um triângulo equilátero, um quadrado ou um hexágono regular. A escolha será pela forma que resulte na maior área.

O jardineiro escolherá a forma de

Alternativas

hexágono regular, pois a área do jardim, em metro quadrado, será $( \dfrac{k^2 \sqrt{3}}{24} )$.

hexágono regular, pois a área do jardim, em metro quadrado, será $( \dfrac{3k^2 \sqrt{3}}{2} )$.

quadrado, pois a área do jardim, em metro quadrado, será $( \dfrac{k^2}{16} )$.

triângulo equilátero, pois a área do jardim, em metro quadrado, será $( \dfrac{k^2 \sqrt{3}}{36} )$.

triângulo equilátero, pois a área do jardim, em metro quadrado, será $( \dfrac{k^2 \sqrt{3}}{4} )$.

Gabarito Comentado

Se o perímetro comum é $k$, então o lado vale:

triângulo equilátero: $k/3$;

quadrado: $k/4$;

hexágono regular: $k/6$.

Triângulo equilátero — área $A=\dfrac{\sqrt{3}}{4}\cdot(\text{lado})^{2}$.

Substituindo o lado $k/3$:

$A_{\triangle}=\dfrac{\sqrt{3}}{4}\cdot\left(\dfrac{k}{3}\right)^{2}$

$=\dfrac{\sqrt{3}}{4}\cdot\dfrac{k^{2}}{9}$

$=\dfrac{k^{2}\sqrt{3}}{36}$.

Quadrado — área $A=(\text{lado})^{2}$.

Com lado $k/4$:

$A_{\square}=\left(\dfrac{k}{4}\right)^{2}=\dfrac{k^{2}}{16}$.

Hexágono regular — é formado por $6$ triângulos equiláteros de lado igual ao do hexágono, então

$A=6\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{4}\cdot(\text{lado})^{2}$.

Com lado $k/6$:

$A_{\text{Hexágono regular}}=6\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{4}\cdot\left(\dfrac{k}{6}\right)^{2}$

$ =6\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{4}\cdot\dfrac{k^{2}}{36}$

$=\dfrac{k^{2}\sqrt{3}}{24}$.

Comparação numérica (usando $\sqrt{3}\approx1{,}732$ apenas para ordenar):

$\dfrac{k^{2}\sqrt{3}}{36}\approx0{,}0481,k^{2}$,

$\dfrac{k^{2}}{16}=0{,}0625,k^{2}$,

$\dfrac{k^{2}\sqrt{3}}{24}\approx0{,}0722,k^{2}$.

Logo, $A_{\text{Hexágono}} \gt A_{\text{Quadrado}} \gt A_{\text{Triângulo}}$.

A figura de maior área é o hexágono regular.