Um proprietário pretende instalar um sensor de presença para a proteção de seu imóvel. O sensor deverá detectar movimentos de objetos e pessoas numa determinada região plana. A figura ilustra a vista superior da área de cobertura (setor circular em azul) de um sensor colocado no ponto \( S \). Essa área depende da medida do ângulo ($\alpha$), em grau, e do raio ($R$), em metro.
Vista superior da área de cobertura do sensor.
Ao aumentar o ângulo ($\alpha$) ou o raio ($R$), aumenta-se a área de cobertura do sensor. Entretanto, quanto maior essa área, maior o preço do sensor.
Para esse fim, há cinco tipos de sensores disponíveis no mercado, cada um com as seguintes características:
tipo I: $ \alpha = 15^\circ$ , R = 20 m;
tipo II: $\alpha = 30^\circ$ R = 22 m;
tipo III: $\alpha = 40^\circ$ R = 12 m;
tipo IV: $\alpha = 60^\circ$ R = 16 m;
tipo V: $\alpha = 90^\circ$ R = 10 m.
Esse proprietário pretende adquirir um desses sensores que seja capaz de cobrir, no mínimo, uma área de medida $(70 \text{m}^2)$, com o menor preço possível.
Use 3 como valor aproximado para $(\pi$).
O proprietário do imóvel deverá adquirir o sensor do tipo
Gabarito Comentado
Sabendo que a área de um setor circular é dada por:
$A = \dfrac{\alpha}{360} \cdot \pi \cdot R^2$
Usando $( \pi = 3 )$, temos:
$A = \dfrac{\alpha}{360} \cdot 3 \cdot R^2 = \dfrac{\alpha \cdot R^2}{120}$
Cálculo para cada tipo:
Tipo I: $( \alpha = 15^\circ, R = 20 ) $
$A = \dfrac{15 \cdot 20^2}{120} = \dfrac{15 \cdot 400}{120} = 50 \text{m}^2$
Tipo II: $( \alpha = 30^\circ, R = 22 ) $
$A = \frac{30 \cdot 22^2}{120} = \frac{30 \cdot 484}{120} = 121\ \text{m}^2$
Tipo III: $( \alpha = 40^\circ, R = 12 ) $
$A = \dfrac{40 \cdot 12^2}{120} = \dfrac{40 \cdot 144}{120} = 48\ \text{m}^2$
Tipo IV: $( \alpha = 60^\circ, R = 16 ) $
$A = \dfrac{60 \cdot 16^2}{120} = \dfrac{60 \cdot 256}{120} = 128\ \text{m}^2$
Tipo V:$ ( \alpha = 90^\circ, R = 10 ) $
$A = \dfrac{90 \cdot 10^2}{120} = \dfrac{90 \cdot 100}{120} = 75\ \text{m}^2$
A área mínima necessária é $70m^2$.
O menor sensor que atende a essa condição é o Tipo V.
(Alternativa E).