Uma criança, utilizando um aplicativo, escreveu uma mensagem para enviar a um amigo. Essa mensagem foi escrita seguindo estas etapas:
A criança seguiu copiando e colando, em cada etapa, o que tinha no visor na etapa imediatamente anterior, até concluir a 20ª etapa. Em seguida, enviou a mensagem.
Qual foi o total de figuras contidas na mensagem enviada?
Gabarito Comentado
Durante a resolução desta questão, precisamos compreender o padrão de crescimento das figuras exibidas no visor.
A cada etapa, o total de figuras forma uma progressão geométrica (PG), pois o número de figuras dobra em relação à etapa anterior.
O processo se inicia com 3 figuras.
Na 1ª etapa, a criança insere 3 figuras, este é o primeiro termo da PG, logo:
$a_1 = 3$
Na 2ª etapa, ela copia as 3 figuras e adiciona mais 3, totalizando 6 figuras.
Na 3ª etapa, o mesmo processo se repete: as 6 figuras são copiadas e adicionadas novamente, formando 12 figuras.
Esse padrão — de duplicar a quantidade anterior — continua até a 20ª etapa.
Fórmula geral da progressão geométrica
$a_n = a_1 \cdot q^{n - 1}$
onde:
$(a_n)$: total de figuras na n-ésima etapa;
$(a_1 = 3)$: primeiro termo (figuras iniciais);
$(q = 2)$: razão da PG (as figuras dobram a cada etapa);
$(n)$: número da etapa.
Cálculo da 20ª etapa
$a_{20} = 3 \cdot 2^{20 - 1} = 3 \cdot 2^{19}$
Conclusão
O total de figuras enviadas na mensagem ao final do processo é:
$ \boxed{a_{20} = 3 \cdot 2^{19}}$
Esse resultado corresponde à alternativa A.